Question

16．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是60°，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$（x，y∈R），则|x$\overrightarrow{a}$-y$\overrightarrow{b}$|的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用向量的模的平方，求出xy的关系式，化简所求的表达式求解即可．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是60°，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$（x，y∈R），
可得x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+y²${\overrightarrow{b}}^{2}$+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，
x²+y²+xy=3，
3≥2|xy|+xy，当xy同号时，0＜xy≤1，当xy异号时，-3≤xy＜0．-xy≤3．
|x$\overrightarrow{a}$-y$\overrightarrow{b}$|²=x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+y²${\overrightarrow{b}}^{2}$-2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x²+y²-2xy=3-2xy≤9，此时xy异号．并且|x|=|y|时成立．
则|x$\overrightarrow{a}$-y$\overrightarrow{b}$|的最大值是3．
故选：C．

点评 本题考查向量在几何中的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．