Question

{a_n}是首项a₁=4的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），设T_n为数列的前n项和，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知结合等比数列的求和公式，分q=1和q≠1两种情况进行求解；
（2）先写出b_n的表达式，进而求出的表达式，观察其结构，可利用裂项法求出其前n项和T_n，最后利用不等式的性质求解即可．
解答：解：设数列{a_n}的公比为q，
（1）若q=1，则S₃=12，S₂=8，S₄=16
显然S₃，S₂，S₄不成等差数列，与题设条件矛盾，所以q≠1，（1分）
由S₃，S₂，S₄成等差数列，得，
化简得q²+q-2=0，∴q=-2，或q=1（舍去）（4分）
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹（5分）
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1（6分）
当n≥2时，（10分）

=1+（12分）
点评：本题主要考查等比数列知识的应用和数列求和的方法，也考查了不等式的知识，考查了学生的推理论证能力．