Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是首项b₁=2的等比数列，且把S₂=16，b₁b₃=b₄．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式．
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k，其中k=1，2，3，…，求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer 1

分析：（1）a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1，由b₁b₃=b₄，得q=

b4

b3

=b₁=2，由此能求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式．
（2）T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n），令A=b₁+2b₂+…+nb_n，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
则a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1，
由b₁b₃=b₄，得q=

b4

b3

=b₁=2，
∴a_n=2n-1，bn=2n．
（2）T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n），
令A=b₁+2b₂+…+nb_n，
则A=2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2A=2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴A=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1-2n+1+2，
∵S2n=

2n(1+a2n)

2

=4n²，
∴T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2
=3+4n²+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．