Question

设A是数集，满足a∈A时，必有

1

1-a

∈A，
（1）若2∈A，问：
①A中至少有几个元素？并把它列举出来？
②A中还可以有其它元素吗？
（2）若A中只能有一个元素且2∉A，实数a是否存在？

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）①根据题意，可得若2∈A，则在A中还有两个元素是：

1

1-2

=-1，

1

1+1

=

1

2

，据此解答即可；
②假设还有其他元素，利用满足a∈A时，必有

1

1-a

∈A，进一步

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈A，

1

1-(1- 1 a )

=a∈A，得到A中可以有其他元素；
（2）假设存在，利用一直得到解答．

解答： 解：（1）①根据题意，可得若2∈A，则在A中还有两个元素是：

1

1-2

=-1，

1

1+1

=

1

2

，所以A中至少有3个元素，分别是2，-1，

1

2

；
②假设还有其他元素，因为a∈A时，必有

1

1-a

∈A，所以

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈A，所以

1

1-(1- 1 a )

=a∈A，得到A中可以有其他元素；
（2）若A中只能有一个元素且2∉A，实数a假设存在，则a=

1

1-a

=1-

1

a

无解，所以假设错误；所以若A中只能有一个元素且2∉A，实数a不存在．

点评：本题考查了元素与集合的关系，主要根据集合元素的特征进行求解，对于存在型的问题，需要先假设存在有条件列出方程进行求解说明．