Question

已知函数f（x）=xlnx+mx（m∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）设g（x）=

f(x)-x

x-1

，讨论g（x）的单调性；
（Ⅲ）已知m，n∈N^*且m＞n＞1，证明：

m n

n m

＞

n

m

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，由图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，即有f′（1）=1+ln1+m=2，即可得到m；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，设h（x）=x-1-lnx，再求h（x）的导数，讨论h（x）的单调性，从而得到g（x）的单调性；
（Ⅲ）运用分析法证明，要证

m n

n m

＞

n

m

，即证

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，即证

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，即证

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，即证g（m）＞g（n），再由（Ⅱ）即可得证．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=xlnx+mx，所以f′（x）=1+lnx+m，
由图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，
即有f′（1）=1+ln1+m=2，
解得m=1；
（Ⅱ）解：g(x)=

f(x)-x

x-1

=

xlnx

x-1

(x＞0，x≠1)，
所以g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
设h（x）=x-1-lnx，h′（x）=1-

1

x

，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，h（x）＞h（1）=0，
所以g′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数；          
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，h（x）＞h（1）=0，
所以g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

＞0，故g（x）在（0，1）上为增函数；
所以g（x）在区间（0，1）和（1，+∞）都是单调递增的．                     
（Ⅲ）证明：由已知可知要证

m n

n m

＞

n

m

，即证

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，
即证

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，即证

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，即证g（m）＞g（n），
又m＞n＞1（m，n∈N^*），由（2）知g（m）＞g（n），
成立，所以

m n

n m

＞

n

m

．

点评：本题考查导数的几何意义和导数的综合应用：求单调区间，以及运用单调性证明不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．