Question

14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{4}$，且图象过点M（$\frac{π}{3}，-1}$）
（1）求f（x）的解析式；       
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，$\frac{π}{2}}$]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{4}$，可得周期为$\frac{π}{2}$，可求得ω，图象过点M（$\frac{π}{3}，-1}$）带入可求得φ，即可得到解析式．
（2）根据正弦函数的图象及性质即可求单调递增区间．
（3）根据三角函数平移变换的规律，求解g（x），在[0，$\frac{π}{2}}$]上求解g（x）的图象．g（x）+k=0有且只有一个实数解，即图象g（x）与y=-k，只有一个交点，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{4}$，即$\frac{1}{2}T=\frac{π}{4}$，即T=$\frac{π}{2}$；
∵T=$\frac{π}{2}=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=4，那么：f（x）=sin（4x+φ）．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}}$．图象过点M（$\frac{π}{3}，-1}$）带入可求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴解析式$f（x）=sin（{4x+\frac{π}{6}}）$；
（2）由正弦函数的性质可知：$4x+\frac{π}{6}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）是单调递增区间，即：2kπ$-\frac{π}{2}$≤$4x+\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$]，解得：$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ$+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间为：$[{-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}}]，k∈Z$；
（3）由（1）可知：$f（x）=sin（{4x+\frac{π}{6}}）$；将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位后，得到$y=sin（{4x-\frac{π}{3}}）$的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到$y=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的图象．即g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$
∴$-\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$
g（x）+k=0在[0，$\frac{π}{2}}$]上只有一个实数解，即图象g（x）与y=-k，只有一个交点，
当x=$-\frac{π}{3}$时，g（x）图象取得最低点，即g（-$\frac{π}{3}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．由正弦函数图象可知：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时只有一个交点，以及k=-1时，也有一个交点．即实数k的取值范围为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或k=-1．

点评 本题考查了三角函数图象及性质的运用能力和化简能力，平移变换的规律，数形结合法的应用．综合性强，属于难题．