Question

6．已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax（a∈R）．
（1）若x=$\frac{2}{3}$为函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=b有实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若x=$\frac{2}{3}$为函数f（x）的极值点，则有$f'（\frac{2}{3}）=0$，解得：实数a的值；
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=b可化为：b=lnx+x-x²，令h（x）=lnx+x-x²，利用导数法，求出函数的最大值，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{a}{ax+1}+3{x^2}-2x-a$=$\frac{{x[3a{x^2}+（3-2a）x-（{a^2}+2）]}}{ax+1}$
由于$x=\frac{2}{3}$为y=f（x）的极值点，则有$f'（\frac{2}{3}）=0$
即$3a{（\frac{2}{3}）^2}+\frac{2}{3}（3-2a）-（{a^2}+2）=0$且$\frac{2}{3}a+1≠0$，
解得a=0…（4分）
当a=0时，f'（x）=x（3x-2）
∵在$x=\frac{2}{3}$附近，$x＞\frac{2}{3}$时，f'（x）＞0；$x＜\frac{2}{3}$时，f'（x）＜0
∴$x=\frac{2}{3}$为函数y=f（x）的极值点成立．
∴a=0…（5分）
（2）当a=-1时，由方程f（1-x）-（1-x）³=b可得lnx-（1-x）²+（1-x）=b
∵b=lnx+x-x²，令h（x）=lnx+x-x²
∴$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$
∵x＞0，则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数
∴h（x）≤h（1）=0…（10分）
∵x＞0
∴b=lnx+x-x²≤0
即b的取值范围为（-∞，0]…（12分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，恒成立问题，难度中档．