Question

已知函数f（x）=

ex

x

．
①求函数f（x）的单调区间；
②设g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）是存在极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：①求f′（x），根据f′（x）的符号判断函数的单调区间即可；
②求g′（x），g（x）在（0，+∞）上存在极值点，就是g′（x）=0在（0，+∞）上的实数解，并由g′（x）=0得到x=lna，x＞0，所以a＞1．

解答： 解：①f′（x）=

ex(x-1)

x2

；
∴x∈（-∞，0）和x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调减区间是：（-∞，0），（0，1）；单调增区间是：[1，+∞）；
②g（x）=e^x-ax+1，
∴g′（x）=e^x-a；
∵g（x）在（0，+∞）上存在极值点；
∴g′（x）=0在（0，+∞）上有实数解；
∴由g′（x）=0得：e^x=a，
∴x=lna；
∵x＞0，
∴lna＞0，
∴a＞1；
∴实数a的取值范围为（1，+∞）．

点评：本题考查根据导数符号找单调区间的方法，函数极值点的定义，函数极值点与方程g′（x）=0实数解的关系．