Question

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

（1）求的值；
（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

Answer 1

（1），；(2)

试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；
（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得：，
由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，最后由,解得，经检验符合题意，故直线的方程为.
试题解析：（1）在方程中，令，得
在方程中，令，得
所以
设的半焦距为，由及，解得
所以，
（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，
易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为
代入的方程中，整理得：
  （*）
设点的坐标
由韦达定理得
又，得，从而求得
所以点的坐标为
同理，由得点的坐标为
，

,即
，，解得
经检验，符合题意，
故直线的方程为