Question

已知圆C过点M（0，3），N（1，4），且圆心C在直线x-y+4=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是抛物线y=x²上一点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过C，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据条件，结合两点间的距离公式即可求圆C的方程；
（2）设出点P的坐标，利用过点P作圆M的两条切线，交抛物线于A，B两点，设出点A，B的坐标，再设出过P的圆C的切线方程，利用交与抛物线两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系，得到两切线的斜率的式子，由已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．

解答： 解：（1）∵圆心C在直线x-y+4=0，
∴设圆心C（a，a+4），
∵圆C过点M（0，3），N（1，4），
∴r=|CM|=|CN|，
即

a2+(a+4-3)2

=

(a-1)2+a2

，
即（a+1）²=（a-1）²，
解得a=0，即圆心C（0，4），半径R=|CM|=1，
则圆的方程为x²+（y-4）²=1．
（2）设点P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由题意得：x₀≠0，x₁≠x₂，
设过点P的圆M的切线方程为：y-x₀²=k（x-x₀），
即y=kx-kx₀+x₀²①
则

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0，
设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂应该为上述方程的两个根，
∴k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁•k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

；
代入①得：x²-kx+kx₀-x₀²=0，则x₁，x₂应为此方程的两个根，
故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀，k_MP=

x02-4

x0

，
∵MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=-1，
∴[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀]•

x02-4

x0

=-1
∴解得x₀=±

23 5

∴P（±

23 5

，

23

5

），直线l的方程为：y=±

3 115

115

x+4．

点评：本题主要考查圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，综合性较强，运算量较大，有一点的难度．