Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形

∠ADC＝45°，，为的中点，⊥平面，，为的中点．

(1)证明：⊥平面；

(2)求直线与平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

【解析】分析：(1)由题意可证得AD⊥AC.PO⊥AD，则AD⊥平面PAC.

(2)连接DO，取DO的中点N，连接MN，AN，由题意可知∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．由几何关系计算可得直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

详解： (1)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，

所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.

又PO⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，

所以AD⊥平面PAC.

(2)连接DO，取DO的中点N，连接MN，AN.

因为M为PD的中点，所以MN∥PO，

且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，

所以DO＝，从而AN＝DO＝.

在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.