题目内容
在△ABC中，点O满足
=2
，过O点的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，若
=m
，
=n
，则mn的最大值是 ．
| BO |
| OC |
| AB |
| AM |
| AC |
| AN |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：如图所示，
=
+
，
=
+
，利用
=2
，可得
=
m
+
n
．由于O、M、N三点共线，利用共线定理可得
m+
=1，再利用基本不等式即可得出．
| BO |
| BA |
| AO |
| OC |
| OA |
| AC |
| BO |
| OC |
| AO |
| 1 |
| 3 |
| AM |
| 2 |
| 3 |
| AN |
| 1 |
| 3 |
| 2n |
| 3 |
解答：
解：如图所示，
=
+
，
=
+
，
∵
=2
，
∴-
+
=2(
-
)，
化为
=
m
+
n
，
∵O、M、N三点共线，
∴
m+
=1，化为m+2n=3．
只考虑m，n＞0的情况，3=m+2n≥2
，化为mn≤
，当且仅当m=2n=
时取等号．
故答案为：
．
| BO |
| BA |
| AO |
| OC |
| OA |
| AC |
∵
| BO |
| OC |
∴-
| AB |
| AO |
| AC |
| AO |
化为
| AO |
| 1 |
| 3 |
| AM |
| 2 |
| 3 |
| AN |
∵O、M、N三点共线，
∴
| 1 |
| 3 |
| 2n |
| 3 |
只考虑m，n＞0的情况，3=m+2n≥2
| 2mn |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
故答案为：
| 9 |
| 8 |
点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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