Question

下列给出的命题中：
①如果三个向量

a

，

b

，

c

不共面，那么对空间任一向量

p

，存在一个唯一的有序数组x，y，z使

p

=x

a

+y

b

+z

c

．
②已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）．则与向量

AB

和

OC

都垂直的单位向量只有

n

=（

6

6

，

6

6

，-

6

3

）．
③已知向量

OA

，

OB

，

OC

可以构成空间向量的一个基底，则向量

OA

可以与向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

构成不共面的三个向量．
④已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，则MN与OB所成的角为

π

4

．
是真命题的序号为（　　）

• A、①②④
• B、②③④
• C、①②③
• D、①④

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：①利用空间向量基本定理即可判断出；
②与向量

AB

和

OC

都垂直的单位向量只有

n

=±（

6

6

，

6

6

，-

6

3

）．
③由于向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

共线，则向量

OA

可以与向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

不能构成不共面的三个向量．
④如图所示，不妨设AB=2．取AB的中点为P，连接MP，PN．可得PM=PN=1，MN=

AN2-AM2

=

2

，可得∠PMN=

π

4

．

解答： 解：①如果三个向量

a

，

b

，

c

不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量

p

，存在一个唯一的有序数组x，y，z使

p

=x

a

+y

b

+z

c

．
②已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）．则与向量

AB

和

OC

都垂直的单位向量只有

n

=±（

6

6

，

6

6

，-

6

3

），因此不正确．
③已知向量

OA

，

OB

，

OC

可以构成空间向量的一个基底，向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

共线，则向量

OA

可以与向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

不能构成不共面的三个向量．
④已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，如图所示，
不妨设AB=2．取AB的中点为P，连接MP，PN．
可得PM=PN=1，MN=

AN2-AM2

=

2

，∴∠PMN=

π

4

．则MN与OB所成的角为

π

4

．
综上可得：真命题的序号为①④．
故选：D．

点评：本题综合考查了空间向量基本定理、正四面体的性质、空间角、共线向量等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．