Question

设

5 +1

5 -1

的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求a2+b2+

ab

2

；（3）求

lim

n→0

(b+b2+b3+…+bn)．

Answer 1

分析：（1）把式子分母有理化得到式子为

3+ 5

2

，估算出

5

的范围，确定出整数部分a的值，即可得到b的值；
（2）把a和b代入求出即可；
（3）求出数列b，b²，b³，…，bⁿ的前n项公式代入求出极限即可．

解答：解：（1）因为2＜

5

＜3，而设m=

5 +1

5 -1

=

3+ 5

2

则得到2＜2m-3＜3，求出2.5＜m＜3
则a=2，b=m-2=

5 -1

2

；
（2）把a=2，b=m-2=

5 -1

2

代入得：a2+b2+

ab

2

=4+(

5 -1

2

)2+

5 -1

2

=5；
（3）数列b，b²，b³，…，bⁿ为首项为b，公比为b的等比数列，因为b为小数部分，所以0＜b＜1
则前n项和为

b(1-bn)

1-b

，则

lim

n→0

(b+b2+b3+…+bn)=

lim

n→0

b(1-bn)

1-b

=0

点评：考查学生求等比数列前n项和的能力，以及理解极限定义，运算极限的能力．