Question

已知不等式

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]，其中n为大于2的整数，[log₂n]表示不超过log₂n的最大整数．设数列{a_n}的各项为正，且满足a1=b(b＞0)，an≤

nan-1

n+an-1

，n=2，3，4，…
（Ⅰ）证明an＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…
（Ⅱ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜

1

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n≥2时，0＜an≤

nan-1

n+an-1

，可得

1

an

-

1

an-1

≥

1

n

，于是有n取2，3，…所有不等式两边相加，即可得到

1

an

-

1

a1

＞

1

2

[log2n]，利用a₁=b，即可得到结论；
（Ⅱ）an＜

2b

2+b[log2n]

＜

2

[log2n]

，令

2

[log2n]

＜

1

5

，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：当n≥2时，0＜an≤

nan-1

n+an-1

，∴

1

an

≥

1

an-1

+

1

n

即

1

an

-

1

an-1

≥

1

n

，于是有

1

a2

-

1

a1

≥

1

2

，

1

a3

-

1

a2

≥

1

3

，…，

1

an

-

1

an-1

≥

1

n

．
所有不等式两边相加可得

1

an

-

1

a1

≥

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由已知不等式知，当n≥3时有

1

an

-

1

a1

＞

1

2

[log2n]．
∵a₁=b，∴

1

an

＞

1

b

+

1

2

[log2n]，
∴an＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…
（Ⅱ）解：an＜

2b

2+b[log2n]

＜

2

[log2n]

，令

2

[log2n]

＜

1

5

则有log2n≥[log2n]＞10，⇒n＞210=1024，
故取N=1024，可使当n＞N时，都有an＜

1

5

．

点评：本题考查新定义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．