Question

【题目】如图所示的几何体是由棱台 和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为 的菱形，且 ， 平面 ， ．

（1）求证：平面 平面 ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） ；

【解析】试题分析：

（1）要证明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知，需在某个平面上找到某条直线垂直于另一个平面，通过观察分析，平面内直线平面.要证明平面，又转化为线面垂直问题， ⊥平面∴⊥，菱形中， ⊥，又∴平面 .

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面平面DFC的法向量，再求出两个法向量的夹角的余弦值，即可得二面角的余弦值.

试题解析：

（1）∵⊥平面∴⊥

在菱形中， ⊥

又∴平面

∵平面∴平面⊥平面

（2）连接、交于点，以为坐标原点，以为轴，以为 轴，如图建立空间直角坐标系.

，同理

,,

设平面的法向量

，则

设平面DFC的法向量

，则

设二面角为，