Question

【题目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
（3）证明：（1﹣ ）（ ）（ ﹣ ）…（ ﹣ ）＜e3（3﹣n） ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ，

所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，

当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，

所以函数f（x）的极小值为f（1）=1

（2）解：假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，

则f′（x）=a﹣ = ，

① 当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，

f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．

②当0＜ ＜e时，f（x）在（0， ]上单调递减，f（x）在（ ，e]上单调递增．

所以f（x）min=f（ ）=1+lna=3，a=e2，满足条件．

③当 ≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），

此时函数f（x）的最小值是不是3，

综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3

（3）证明：由（2）知：当x∈（0，e]，e2x﹣lnx≥3，∴lnx≤e2x﹣3，

∴ n个式子相加得： ；

∴

【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性；（2）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a；（3）根据函数的单调性得到lnx≤e2x﹣3，令x= ﹣ ，累加即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．