Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）赋值：令n=2，n=3，能求出a₂，a₃的值．
（II）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出{a_n+n}的通项公式，从而求出a_n．

解答： 解：（I）令n=2，得a₂=2a₁=6，
令n=3，得a₃=2a₂+1=13．（4分）
（II）∵

an+n

an-1+(n-1)

=

2an-1+n-2+n

an-1+n-1

=2，
∴数列{a_n+n}是首项为4，公比为2的等比数列，（7分）
∴an+n=4•2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-n．（10分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意赋值法和等比数列性质的合理运用．