Question

15．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，DD₁中点为Q，过A、Q、B₁三点的截面面积为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，得出过A、Q、B₁三点的截面为等腰梯形，结合图中数据即可求出截面的面积．

解答 解：如图所示，
取C₁D₁的中点P，连接PQ、PB₁、AB₁和AQ，则四边形AB₁PQ是过A、Q、B₁三点的截面；
∵PQ∥C₁D，且PQ=$\frac{1}{2}$C₁D，
∴PQ∥AB₁，
∴四边形AB₁PQ是梯形；
∵AB=1，
∴AB₁=$\sqrt{2}$，PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
且梯形的高为$\sqrt{{1}^{2}{+（\frac{1}{2}）}^{2}{-（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\sqrt{2}）}^{2}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
∴截面面积为$\frac{1}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了空间几何体中的线、面之间的位置关系的应用问题，是综合性题目．