Question

【题目】已知函数．

1当时，求曲线在处的切线方程；

2若是R上的单调递增函数，求a的取值范围；

3若函数对任意的实数，存在唯一的实数，使得成立，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）问题转化为f′（x）的最小值f'（x）min≥0，令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x﹣a，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）求出函数的导数，通过讨论x的范围，得到关于a的不等式，解出即可．

（1）当a＝1时，，

所以f′（x）＝ex﹣x﹣1，f′（0）＝0，f（0）＝1．

所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝1．　

（2）因为f（x）在R上为单调递增函数，

所以f′（x）＝ex﹣x﹣a≥0恒成立，即f′（x）的最小值f'（x）min≥0．

令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x﹣a，则g′（x）＝ex﹣1．

在（﹣∞，0），g′（x）＜0，f'（x）单调递减；在（0，+∞），g′（x）＞0，f'（x）单调递增．

所以f'（x）min＝f（0）＝1﹣a．

所以1﹣a≥0，即a≤1．经检验等号成立

所以若f（x）是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．

（3）当x＜0时，t'（x）＝3x2﹣2（a2﹣a+1）x+5，

因为3＞0，，

所以t'（x）在（﹣∞，0）单调递减，且t'（x）＞5；

当x＞0时，t'（x）＝f'（x）＝ex﹣x﹣a，

由（2）知t'（x）在（0，+∞）递增，且t'（x）＞1﹣a．

若对任意的实数，存在唯一的实数（≠），使得t'（）＝t'（）成立，则

（ⅰ）当＜0时，＞0．所以1﹣a≤5，即a≥﹣4；

（ⅱ）当＞0时，＜0．所以1﹣a≥5，即a≤﹣4．

综合（ⅰ）（ⅱ）可得a＝﹣4．