Question

【题目】已知函数f(x)＝aln x＋ (a∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；

(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)求证ln(n＋1)> (n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）最小值为f(1)＝1.（2）a< .（3）见解析

【解析】

试题（1）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；

（2）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；

（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1，即时命题成立；设当n=k时，命题成立，即成立，再去证明n=k+1时，成立即可（需用好归纳假设）．

试题解析：（1），定义域为．

在上是增函数．

．

（2）因为

因为若存在单调递减区间，所以有正数解．

即有的解

当时，明显成立 ．

②当时，开口向下的抛物线，总有的解；

③当时，开口向上的抛物线，

即方程有正根．

因为，

所以方程有两正根．

当时，；

，解得．

综合①②③知：．

或：

有的解

即有的解，

即有的解，

的最大值，

（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，．

，

．

(法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即．

时，．

根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．