Question

【题目】设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为.

（1）求圆的标准方程；

（2）设直线与圆交于两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，或.

【解析】

（1）设圆心，，半径为，由垂径定理列关于与的方程，结合点在圆上联立求得与的值，则圆的方程可求；

（2）设，，，是直线与圆的交点，联立直线方程与圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得的中点的坐标，假如以为直径的圆过原点，则，由此列式求解值，则直线的方程可求．

（1）设圆心，半径为，由垂径定理得

且

解得，

∴圆的方程为 ；

（2）设是直线与圆的交点，

将代入圆的方程得：

∴，

∴的中点为.

以为直径的圆能过原点，则，

∵圆心到直线的距离为，

∴.

∴，解得 ，

经检验时，直线与圆均相交，

∴的方程为或.