Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=e^x-x+1．（a为常数，e为自然对数的底，e≈2.71828）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，

1

2

）上无零点，求a的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）函数f（x）＜0在区间（0，

1

2

）上不可能恒成立，故要使函数f（x）在区间（0，

1

2

）上无零点，只要对?x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立．即对?x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．构造函数，利用导数求出函数的最值即可；

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx（x＞0），则f′（x）=1-

2

x

．
令f′（x）＞0得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2]，单调递增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）∵函数f（x）＜0在区间（0，

1

2

）上不可能恒成立，
故要使函数f（x）在区间（0，

1

2

）上无零点，只要对?x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立．即对?x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．
令l（x）=2-

2lnx

x-1

（x∈（0，

1

2

），则l′（x）=

- 2 x (x-1)+2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m（x）=2lnx+

2

x

-2，则m′（x）=

2

x

-

2

x2

=

-2(1-x)

x2

，
∵x∈（0，

1

2

），∴m′（x）＜0，
故函数m（x）在区间（0，

1

2

）上单调递减，∴m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，即l′（x）＞0，
∴函数l（x）在区间（0，

1

2

）上单调递增，∴l（x）＜l（

1

2

）=2-4ln2，
故只要a≥2-4ln2，函数f（x）在区间（0，

1

2

）上无零点，所以a_min=2-4ln2．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查函数的零点及函数恒成立问题，考查学生对问题的转化能力．