Question

9．已知：正数m取不同的数值时，方程x²+y²-（4m+2）x-2my+4m²+4m+1=0表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．

Answer 1

分析 将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标与半径，根据题意得到公切线恒过（1，0），设出公切线为y=kx-k，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出公切线的方程．

解答 解：正数m取不同的数值时，方程x²+y²-（4m+2）x-2my+4m²+4m+1=0，
即[x-（2m+1）]²+（y-m）²=m²，表示以（2m+1，m）为圆心，半径等于|m|的圆，
故圆心所在的直线方程为x-2y-1=0，
当y=0时，x=1，即公切线恒过（1，0），设这些圆的公切线方程为y=kx-k，
圆心到切线的距离d=r，即

|2mk-mmm|

k2+1

=|m|，
整理得：3k²-4k=0，即k（3k-4）=0，
解得：k=0或k=

4

3

，
则这些圆的公切线方程为y=0或y=

4

3

x-

4

3

，即y=0或4x-3y-4=0．

点评 本题主要考查圆系方程，圆的公切线的性质，考查了圆的切线方程，属于中档题．