Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）求证不论a为何实数，f（x）总是增函数；
（2）若函数f（x）满足f（-x）=-f（x），求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义，任取x₁＜x₂判定出f（x₁）-f（x₂）的符号即f（x₁）与f（x₂）的大小，利用函数单调性的定义得证．
（2）根据f（-x）=-f（x），求出a的值，利用指数函数的性质得出2^x+1＞1，进一步求出函数的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴不论a为何实数f（x）总为增函数-----------------------------------------（6分）
（2）∵f（-x）=-f（x）
即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

解得a=

1

2

-------------------------------------------（8分）
∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

∵2^x+1＞1
∴0＜

1

2x+1

＜1
∴-1＜-

1

2x+1

＜0
∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

∴f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)---------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性；考查指数函数的性质，考查不等式的性质及函数值域的求法．