Question

已知离心率为的椭圆C₁：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，圆C₂：x²+y²=b²与直线l：相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线l绕着它与x轴的交点旋转，且与椭圆相交于P₁、P₂两点，设直线P₁F₁与P₂F₁的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆心到直线的距离等于半径，知．由 ，知a²=2b²=8，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线为y=k（x+4），它与椭圆相交于P₁、P₂两点，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F₁（-2，0），，，k₁+k₂=．联立与y=k（x+4）得（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，由韦达定理能够证明k₁+k₂=0．
解答：解：（1）∵圆心到直线的距离等于半径，
∴．
∵，
∴，a²=2b²=8，
所以椭圆方程为 ．
（2）当直线l绕着它与x轴的交点旋转，可设直线为y=k（x+4），
它与椭圆相交于P₁、P₂两点，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F₁（-2，0），
，
，
k₁+k₂=+
=
=…（1）
联立与y=k（x+4）得
（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，
，
代入（1）式则有
k₁+k₂=．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．