Question

已知离心率为的椭圆C：的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x²+y²=1所得弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过D（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，．试探究的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，由题意原点O 到直线EF的距离为，知b=1，a²=2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，=；若直线l与x轴不平行时，设直线l的方程为：x=my-2，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），由得：（m²+2）y²-4my+2=0，由△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，知m²＞2，，由此能推导出．
解答：解：（1）由，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，
由题意原点O 到直线EF的距离为，
∴，
∴b=1，a²=2，
∴椭圆C的方程是：．…（4分）
（2）①若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，
∴，
∴=．…（6分）
②若直线l与x轴不平行时，
设直线l的方程为：x=my-2，
并设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），
则，
得：（m²+2）y²-4my+2=0，（*）                          …（8分）
∵△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，
∴m²＞2，
由（*）式得，
∴==，
∵m²＞2，
∴，
∴
综上，．…（14分）
点评：本题考查直线和椭圆的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是探究的取值范围时因能力欠缺导致出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意提高解题能力．