Question

已知离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）与过点A（5，0），B（0，）的直线有且只有一个公共点M．
（1）求椭圆C的方程及点M的坐标；
（2）是否存在过点M的直线l，依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的离心率为，可得a²=2b²，求出过点A（5，0），B（0，）的直线方程，与椭圆方程联立，利用过点A（5，0），B（0，）的直线与椭圆有且只有一个公共点M，即可求得椭圆C的方程及M的坐标；
（2）假设存在直线l，满足题意，根据直线l依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足，可得M，N是线段PQ的三等份点，求出N的坐标代入椭圆方程，即可得到结论．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率为
∴
∴
∴a²=2b²
∴椭圆C：可化为：x²+2y²=2b²①
过点A（5，0），B（0，）的直线方程为②
①②联立，消去x可得：10③
∵过点A（5，0），B（0，）的直线与椭圆有且只有一个公共点M
∴△=800-40（25-2b²）=0
∴，∴a²=5
∴椭圆C的方程为
时，方程③的根为y=，代入②可得x=1，∴M（1，）
（2）假设存在直线l，满足题意．
∵直线l依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足，
∴M，N是线段PQ的三等分点
∵M（1，），∴根据三角形的中位线的性质，可得N（2，）
代入椭圆方程，显然成立
∴存在直线l，满足题意，此时直线的方程为：
即x+-3=0
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题，将直线l依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足，转化为M，N是线段PQ的三等份点是解题的关键．