Question

2．已知PA⊥面ABCD，PA=AB=3，面ABCD为正方形．试建立适当的平面直角坐标系，分别求下列平面的法向量．
（1）面ABCD；
（2）面PAB；
（3）面PBC；
（4）面PCD．

Answer 1

分析 利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则（1）面ABCD的法向量为（0，0，1）；
（2）面PAB的法向量为（0，1，0）；
（3）由B（3，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{PC}$=（3，3，-3），
设平面PBC是法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-3z=0}\\{3x+3y-3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）；
（4）由（3）同理可得：平面PCD的法向量为：$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）．

点评 本题考查了线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．