Question

点M与定点F(－4，0)的距离和它到定直线l∶x=的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，曲线C与x轴的两个交点为，过点F的直线交曲线C于P、Q两点(点P、Q均不在坐标轴上)．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)求证：三直线和l经过同一点．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题设，曲线C是焦点在x轴上且关于y轴对称的椭圆，其中c=4，．解得． 　　∴曲线C的方程是 　　或设M(x，y)则， 　　整理， 　　(2)[证法一]不防设是椭圆的左顶点，则(－5，0)，(5，0)． 　　设 　　则直线 　　将 　　即与直线l的交点 　　同理与直线l的交点 　　下面只须证． 　　即证：T==0． 　　∵点P、Q在椭圆上， 　　∴ 　　∴ 　　即．③ 　　又P、F、Q三点共线，得 　　④ 　　将④代入③，得⑤ 　　从而 　　因此M与M′重合，故三直线和l经过同一点． 　　[证法二]：设直线PQ的方程为x=ky－4，代入，化简得，－72ky－81=0， 　　设其二根为， 　　 ① 　　P为()，Q为()，为(－5，0)，为(5，0)， 　　直线的方程为，将代入，得， 　　即与l的交点为 　　同理与l的交点 　　只须证 　　即证 　　将①中二式代入， 　　成立， 　　故M与M′重合，三直线与l经过同一点．