Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，点C在直线l上．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设过定点F，法向量

n

=(4，-3)的直线与（1）中的轨迹相交于A，B两点且点A在x轴的上方，判断∠ACB能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义一动点M到定点的距离与到定直线的距离相等，M的轨迹为抛物线，可知M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，根据F的坐标求出p的值，即可确定出抛物线的方程；
（2）根据已知的法向量得到直线AB方程的斜率，再由F的坐标即可写出直线AB的方程，与（1）求出的抛物线方程联立，求出x与y的值，确定出点A和点B的坐标，设出点C的坐标，进而表示出

CA

h和

CB

，利用平面向量的数量积的运算法则表示出两向量的数量积，变形后得到其数量积大于等于0，故∠ACB不可能为钝角；表示出过点B与直线AB的直线，令x=-1求出此时y的值，则y小于求出的值即可得到∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．

解答：解：（1）因为动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，
所以M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，
则轨迹方程为y²=4x；（4分）
（2）由题意，直线AB的方程为4x-3y-4=0（5分）
故A、B两点的坐标满足方程组

y2=4x 4x-3y-4=0

，
解得A（4，4），B(

1

4

，-1)，
设C（-1，y），则

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)，（8分）
由

CA

•

CB

=

25

4

+(4-y)(-1-y)=(y-

3

2

)2≥0，
所以∠ACB不可能为钝角．（10分）
过B垂直于直线AB的直线方程为3x+4y+

13

4

=0，
令x=-1，解得y=-

1

16

，
当∠ABC为钝角时，点C纵坐标的取值范围是：y＜-

1

16

(y≠-

8

3

)．（13分）

点评：本题考查抛物线的定义与应用，及轨迹方程的求法，关键是看清题中给出的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则进行求解．本题容易忽略y≠-

8

3

的情况．