Question

已知动点M（x，y）在曲线C上，点M与定点F（1，0）的距离和它到直线m：x=4的距离的比是

1

2

．
（1）求曲线C的方程；
（2）点E（-1，0），∠EMF的外角平分线所在直线为l，直线EN垂直于直线l，且交FM的延长线于点N．试求点P（1，8）与点N连线的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由点到直线的距离公式与两点的距离公式，结合题意建立关于x、y的等式，化简整理得

x2

4

+

y2

3

=1，即为所求曲线C的方程；
（2）根据曲线C的方程利用椭圆的定义，结合题意算出点N的轨迹是以F为圆心、4为半径的圆，可得圆心F到直线PN的距离小于等于半径，因此设出直线NP方程并利用点到直线的距离公式列式，解之即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）设点M到直线m：x=4的距离为d，
根据题意，可得

|MF|

d

=

1

2

，
即

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化简得

x2

4

+

y2

3

=1．
∴曲线C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；    
（2）由（1）得曲线C是E（-1，0）、F（1、0）为焦点的双曲线，2a=4．
根据题意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴点N的轨迹是以F（1，0）为圆心，4为半径的圆．
又∵直线PN的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圆心F到直线PN的距离d小于等于半径，可得

|k+8-k|

k2+1

≤4，
解之得k≤-

3

或k≥

3

，可得斜率k的取值范围是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．

点评：本题给出动点M满足的条件，求M的轨迹方程并依此求动直线斜率的取值范围．着重考查了直线的基本量与基本形式、两点间的距离公式与点到直线的距离公式、椭圆的定义与标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．