Question

1．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁=4，$\frac{5}{4}$a₃是a₂、a₄的等差中项，数列{b_n}满足b_n+1=b_n+1，其前n项和为S_n，且S₂+S₆=a₄．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列c_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{b_n}-1）（{b_n}+1）}}，n为奇数\\ \frac{{2（{b_n}-1）}}{a_n}，n为偶数\end{array}$求数列{c_n}的前2n项和T_2n；
（3）数列{a_n}的前n项和为A_n，若不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q＞1，由a₁=4，$\frac{5}{4}$a₃是a₂、a₄的等差中项，可得$\frac{5}{2}×4×{q}^{2}$=4q+4q³，解得q即可得出a_n．数列{b_n}满足b_n+1=b_n+1，可得数列{b_n}是等差数列，公差为1．利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）n为奇数时，c_n=$\frac{1}{（{b}_{n}-1）（{b}_{n}+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．n为偶数时，c_n=$\frac{2（{b}_{n}-1）}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．通过分组，分别利用数列“裂项求和”方法、“错位相减法”即可得出．
（3）数列{a_n}的前n项和为A_n=2ⁿ⁺²-4．代入不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n，化为：λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞1，∵a₁=4，$\frac{5}{4}$a₃是a₂、a₄的等差中项，∴2×$\frac{5}{4}$a₃=a₂+a₄，∴$\frac{5}{2}×4×{q}^{2}$=4q+4q³，化为：2q²-5q+2=0，q＞1，解得q=2．
∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∵数列{b_n}满足b_n+1=b_n+1，∴数列{b_n}是等差数列，公差为1．
∵S₂+S₆=a₄，∴8b₁+1+$\frac{6×5}{2}$×1=2⁵，解得b₁=2，
∴b_n=2+（n-1）=n+1．
（2）n为奇数时，c_n=$\frac{1}{（{b}_{n}-1）（{b}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n×（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
n为偶数时，c_n=$\frac{2（{b}_{n}-1）}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n），
c₁+c₃+…+c_2n-1=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
设M_n=c₂+c₄+…+c_2n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$=$\frac{2}{4}$+$\frac{4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{2n}{{4}^{n}}$，
∴$\frac{1}{4}$M_n=$\frac{2}{{4}^{2}}$+$\frac{4}{{4}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{4}^{n}}$+$\frac{2n}{{4}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{4}$M_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{{4}^{2}}$+…+$\frac{2}{{4}^{n}}$-$\frac{2n}{{4}^{n+1}}$=$\frac{2×\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2n}{{4}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{8+6n}{3×{4}^{n+1}}$，
∴M_n=$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．
（3）数列{a_n}的前n项和为A_n=$\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺²-4．
不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n，化为：λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$，
$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=n+1+$\frac{9}{n+1}$-3≥2$\sqrt{9}$-3=3，当且仅当n=2时取等号．
由于不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n对一切n∈N^*恒成立，∴λ≤3．
因此实数λ的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、递推关系、“裂项求和”、“错位相减法”、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．