Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上、下顶点分别是B₁，B₂，点C是B₁F₂的中点，若$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且CF₁⊥B₁F₂，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知可得F₁，F₂，B₁，B₂四点的坐标，利用中点坐标公式可得C．由$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且CF₁⊥B₁F₂，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：F₁（-c，0），F₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），C$（\frac{c}{2}，\frac{b}{2}）$．
$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$=（-c，-b），$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=（c，-b），$\overrightarrow{C{F}_{1}}$=$（-\frac{3}{2}c，-\frac{b}{2}）$，
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且CF₁⊥B₁F₂，
∴-c²+b²=2，$\overrightarrow{C{F}_{1}}$$•\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=$-\frac{3}{2}{c}^{2}$+$\frac{1}{2}{b}^{2}$=0，又a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b²=3，c=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．