Question

19．如图（1），五边形PABCD是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中∠APD=120°，AB=2，现将△PAD进行翻折，使得平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，所得四棱锥P-ABCD如图（2）所示，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{14}{3}π$
• B． $\frac{7}{3}π$
• C． $\frac{28}{3}π$
• D． 14π

Answer 1

分析 将四棱锥P-ABCD补成直三棱柱PAD-MBC，则直三棱柱PAD-MBC与四棱锥P-ABCD的外接球是同一个球，故只需求出直三棱柱PAD-MBC的外接球半径即可．

解答 解：将四棱锥P-ABCD补成直三棱柱PAD-MBC，
则直三棱柱PAD-MBC与四棱锥P-ABCD的外接球是同一个球，
故只需求出直三棱柱PAD-MBC的外接球半径即可．
如图，设直三棱柱PAD-MBC的两底的外接圆圆心分别为O₁，O₂，连接O₁O₂，
根据对称性球心为线段O₁O₂的中点O，
又∵底ADP的外接圆半径r，由正弦定理得$\frac{AD}{sin12{0}^{0}}=2r$，⇒r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
直三棱柱PAD-MBC的外接球半径R=$\sqrt{{r}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$．
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为s=4πR²=$\frac{28}{3}π$．
故选：C．

点评 本题考查了多面体的外接球，把不易求其外接球半径的几何体转化为易求半径几何体，是解题的关键，属于中档题．