Question

11．如图，△ABC各边长均为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）证明：平面ADF⊥平面BCD；
（2）求三棱锥C-DEF的体积；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可．
（2）证明EH是三棱锥E-CDF的高，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．
（3）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．

解答 解：（1）证明：连接EF交CD于H，则EF是△ABC的中位线，
在正△ABC中，AD⊥CD，BD⊥CD，
折叠后，AD⊥CD，BD⊥CD且AD∩BD=D，
∴AD⊥平面BCD，
又AD?平面ADF
∴平面ADF⊥平面BCD；
（2）由（1）知AD⊥平面BCD，EH∥AD，
∴EH⊥平面BCD，即EH⊥平面CDF，
则EH是三棱锥E-CDF的高，且EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×2=1$，
则V_C-DEF=V_E-CDF=$\frac{1}{3}$S_△CDF•EH=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$CD•FH•EH=$\frac{1}{6}$×2$\sqrt{3}$×1×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
E（0，$\sqrt{3}$，1），F（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$=λ（-2，2$\sqrt{3}$，0），则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（2，0，-2）+（-2λ，2$\sqrt{3}$λ，0）=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2），
若AP⊥DE，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DE}$=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2）•（0，$\sqrt{3}$，1）=0，
即6λ-2=0，则λ=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断，三棱锥体积的计算以及直线垂直的应用，建立空间坐标系，利用向量法把直线垂直转化为向量垂直是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．