Question

11．已知单位向量$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$的夹角为$\frac{π}{3}$，设$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的大小为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 $|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．利用数量积运算性质可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$．设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为θ，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，即可得出．

解答 解：∵$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$•$（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$=-6+2+$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=-$\frac{7}{2}$．
$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{4+1+4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{9+4-12×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．