Question

【题目】已知函数（）．

（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）切线方程为（2）当时，；当时，；

当时，．（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由点在曲线，可解得，求导，可得切线的斜率为0，进而得到切线方程（2）求导，对分，，，四种情况分类讨论，分别求出在不同情况下在区间上的最大值；（3）将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．

试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，

因为，所以切线的斜率为0，

所以切线方程为．

（2）因为．

①当时，，，

所以函数在上单调递增，则；

②当，即时，，，

所以函数在上单调递增，则；

③当，即时，

函数在上单调递增，在上单调递减，

则；

④当，即时，，，

函数在上单调递减，则．

综上，当时，；

当时，；

当时，．

（3）不妨设，

因为，

所以，，

可得，，

要证明，即证明，也就是．

因为，

所以即证明，

即，

令，则，于是，

令（），

则，

故函数在上是增函数，

所以，即成立，所以原不等式成立．