Question

【题目】已知定点和直线上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.

（I）求曲线的方程；

（II）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求证：三点共线.

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）根据题意分析可知，动点到定点的距离与到定直线的距离相等，因此动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，轨迹方程；（II）联立直线方程与抛物线方程，消去得：，设，，则，，点，由知，则，若三点共线，则应有，即验证即可.

试题解析：（I）由题意可知：，即点到直线和点的距离相等，根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点. ……………………………3分

设的轨迹方程为：

所以的轨迹方程为：. ……………………………5分

（II）由条件可知，则. ……………………………6分

联立，消去得，

. …………………………… 7分

设，则

…………………………… 9分

因为 …………………………… 10分

…………………………… 11分

所以三点共线. …………………………… 12分