Question

已知函数，.
（1）已知区间是不等式的解集的子集，求的取值范围；
（2）已知函数，在函数图像上任取两点、，若存在使得恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）将不等式在区间上恒成立等价转化为，然后利用导数
中对参数进行分类讨论，确定函数在区间上的单调性，从而确定函数在区间的最小值，从而求出参数的取值范围；（2）将不等式进行变形得到，构造函数，于是将问题转化在区间单调递增来处理，得到，即，围绕对的符号进行分类讨论，通过逐步构造函数对不等式进行求解，从而求出实数的取值范围.
（1）
①当时，，在区间上为增函数
由题意可知，即，；
②当时，，解得：，
，；，，
故有：当，即：时，即满足题意
即，构建函数，
，当时为极大值点，有，
故不等式无解；
当，即时，，即，
解得： ，；
当，即时，，即，
解得：，；
综上所述: ；
（2）由题意可知：，可设任意两数，
若存在使得成立，即: ，
构建函数：，为增函数即满足题意，即恒成立即可
，构建函数，,
当时，，为增函数 
则不存在使得恒成立， 故不合题意；
当时，，可解得；
当时，可知，即为极小值点，也是最小值点，
，由于存在使得该式恒成立，
即， 由（1）可知当时，，
综上所述的最大值为.