Question

【题目】已知圆的方程为，若抛物线过点，且以圆0的切线为准线，为抛物线的焦点，点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过点作直线交曲线与两点，关于轴对称，请问:直线是否过轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点的坐标

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过轴上的定点

【解析】分析：设直线和圆相切与点，过分别向直线m作垂线，垂足分别为，则

，由抛物线定义可知，，所以，由椭圆的定义可知，点F的轨迹为以为焦点，以4为长轴的椭圆，则曲线的方程可求；

(2)设，则直线的方程为

令y=0，，

设直线L：，

则（*） 联立直线和椭圆方程，

可得的表达式，代入（*）式得：，即可证明直线过轴上的定点.

详解：

(1)设直线和圆相切与点，过分别向直线m作垂线，垂足分别为，则

，由抛物线定义可知，，所以，由椭圆的定义可知，点F的轨迹为以为焦点，以4为长轴的椭圆，方程为.

(2)设，则直线的方程为

令y=0，，

设直线L：，

则（*） 联立直线和椭圆方程，

则，代入（*）式得：,所以直线过轴上的定点.