题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax2﹣bx+lnx,(a,b∈R).
(1)若a=1,b=3,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若b=0时,不等式f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=1,b>时,记函数f(x)的导函数f
(x)的两个零点是x1和x2(x1<x2),求证:f(x1)﹣f(x2)>
﹣3ln2.
【答案】(1)f(x)在(0,),(1,+∞)递增;(2)a≤﹣
;(3)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为a≤﹣在区间[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣
,根据函数的单调性求出a的范围即可;
(3)由题意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2﹣bx+1=0的两个根,记g(x)=2x2﹣bx+1,根据函数的单调性证明即可.
(1)由题意得:x>0,a=1,b=3时,f(x)=x2﹣3x+lnx,
,令f
(x)>0,解得:0<x<
或x>1,
故f(x)在(0,),(1,+∞)递增;
(2)b=0时,f(x)=ax2+lnx,不等式f(x)≤0在[1,+∞)恒成立,
即a≤﹣在区间[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣
,则
,
令h(x)>0,解得:x>
,令h
(x)<0,解得:1<x<
,
故f(x)在(1,)递减,在(
,+∞)递增,故h(x)min=h(
)=﹣
,
故a≤﹣;
(3)a=1时,f(x)=x2﹣bx+lnx,,(x>0),
由题意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2﹣bx+1=0的两个根,记g(x)=2x2﹣bx+1,则
,g(2)=9﹣2b<0,
∴x1∈(,
),x2∈(2,+∞),且f(x)在[x1,x2]递减,
故f(x1)﹣f(x2)>f()﹣f(2)=
﹣3ln2,
∵b>,∴f(x1)﹣f(x2)>
﹣3ln2.
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