Question

某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．

（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

 

Answer 1

（1）y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．

【解析】

试题分析：（1）根据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．

（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．

【解析】
（1）设，

∵售价为10元时，年销量为28万件；

∴，解得k=2．

∴=﹣2x2+21x+18．

∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）

令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9

显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0

∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；

在（9，+∞）上是关于x的减函数．

∴当x=9时，y取最大值，且ymax=135．

∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．