Question

设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离．

 

Answer 1

m万千米．

【解析】

试题分析：仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a﹣c，这样把问题就转化为求a，c或a﹣c．

【解析】
建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（﹣c，0）处，

椭圆的方程为+=1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，

由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）．

作AB⊥Ox于B，则|FB|=|FA|=m，

故由椭圆的第二定义可得

m=（﹣c），①m=（﹣c+m）．②

两式相减得m=•m，∴a=2c．

代入①，得m=（4c﹣c）=c，

∴c=m．∴a﹣c=c=m．

答：彗星与地球的最近距离为m万千米．