Question

数列{a_n}是等差数列，若

a11

a10

＜-1，且它的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取的最小正值时，n=（　　）

• A、11
• B、17
• C、19
• D、21

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据题意判断出d＜0、a₁₀＞0＞a₁₁、a₁₀+a₁₁＜0，利用前n项和公式和性质判断出S₂₀＜0、S₁₉＞0，再利用数列的单调性判断出当S_n取的最小正值时n的值．

解答： 解：由题意知，S_n有最大值，所以d＜0，
因为

a11

a10

＜-1，所以a₁₀＞0＞a₁₁，
且a₁₀+a₁₁＜0，
所以S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，
则S₁₉=19a₁₀＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂
所以S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁
又S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，
所以S₁₉为最小正值，
故选：C．

点评：本题考查了等差数列的性质、前n项和公式以及S_n最值问题，要求S_n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a_n+1小于0且a_n大于0．