题目内容
已知
=（cosθ，2），
=（
，sinθ）．
（1）当
∥
，且θ∈（
，
）时，求cosθ-sinθ的值；
（2）若
⊥
，求
+
的值．
| a |
| b |
| 1 |
| 5 |
（1）当
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）若
| a |
| b |
| 1+sinθ |
| 1-sinθ |
| 1-sinθ |
| 1+sinθ |
分析：（1）利用向量共线的充要条件及取锐角时的正弦值与余弦值的大小关系；
（2）利用
⊥
?
•
=0即可得出sinθ与cosθ的大小关系，把原式通法化简利用平方关系即可得出．
（2）利用
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵
∥
，∴sinθcosθ=
．
∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×
=
，
∵θ∈(
，
)，∴sinθ＞cosθ，
∴cosθ-sinθ=-
．
（2）∵
⊥
，∴
cosθ+2sinθ=0．
∴cosθ=-10sinθ．
∴
+
=
=
=
=
=
=
．
| a |
| b |
| 2 |
| 5 |
∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∵θ∈(
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴cosθ-sinθ=-
| ||
| 5 |
（2）∵
| a |
| b |
| 1 |
| 5 |
∴cosθ=-10sinθ．
∴
| 1+sinθ |
| 1-sinθ |
| 1-sinθ |
| 1+sinθ |
| (1+sinθ)2+(1-sinθ)2 |
| 1-sin2θ |
| 2+2sin2θ |
| cos2θ |
| 2(sin2θ+cos2θ)+2sin2θ |
| cos2θ |
=
| 4sin2θ+2cos2θ |
| cos2θ |
| 4sin2θ+2×100sin2θ |
| 100sin2θ |
| 51 |
| 25 |
点评：熟练掌握向量共线的充要条件、
⊥
?
•
=0、三角函数的单调性、平方关系是解题的关键．
| a |
| b |
| a |
| b |
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