Question

17．已知等比数列{a_n}满足，a₂=3，a₅=81．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n，求{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{n-1}$=n-1，利用分组求和法能求出{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}满足，a₂=3，a₅=81，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=3}\\{{a}_{1}{q}^{4}=81}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=3，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}={3}^{n-1}$．
（2）∵b_n=log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{n-1}$=n-1，
∴{b_n}的前n项和：
S_n=（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{n（n+1）}{2}-n$
=$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．