题目内容

斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长．

答案：
解析：

　　解法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为y＝x－1①，将方程①代入抛物线方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x．

　　化简，得x2－6x＋1＝0，

　　解之，得x1＝，x2＝．

　　将x1，x2的值代入方程①中，得

　　y1＝，y2＝，

　　即A，B的坐标分别为A(，)，

　　B(，)．

　　∴|AB|＝＝8．

　　解法二：如图，由抛物线的定义可知

　　|AF|＝|A|＝x1＋1，

　　|BF|＝|B|＝x2＋1，

　　∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|A|＋|B|

　　＝x1＋x2＋2　　②

　　由法一，可知x2－6x＋1＝0，

　　∴由韦达定理，得x1＋x2＝6，

　　代入②式，得|AB|＝6＋2＝8．

　　(法三)同法二，有x1＋x2＝6，x1·x2＝1，

　　∴由弦长公式，得

　　|AB|＝＝8．


练习册系列答案
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斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=
 
．
已知抛物线C的参数方程为
x=8t2
y=8t
（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x-4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=
 
．
已知抛物线C1的参数方程为
x=8t2
y=8t
（t为参数），圆C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r=（　　）
（1）（不等式选讲选做题）若关于x的不等式|x-1|+|x+m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是
（-∞，-4）∪（2，+∞）
（-∞，-4）∪（2，+∞）
．
（2）（坐标系与参数方程选做题）已知抛物线C1的参数方程为
x=8t2
y=8t
（t为参数），圆C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r=
2
2
．

(1)(不等式选讲选做题)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是________．

(2)(坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝________.

 

 

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