Question

已知函数f（x）=

1

2

lnx+ax²，（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（

1

2

，f（

1

2

））处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）的极值点x₀∈（1，2），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性极值，再利用极值点x₀∈（1，2），即可得出．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

2x

+2ax．（x＞0）．∵曲线y=f（x）在点（

1

2

，f（

1

2

））处的切线与直线x+2y-2=0垂直，
∴切线的斜率k=2，∴f′(

1

2

)=1+a=2，解得a=1，
∴a=1；
（2）∵f′(x)=

1

2x

+2ax=

1+4ax2

2x

，x∈(0，+∞)．
①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，不合题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0，即1+4ax²=0，
∵x∈（0，+∞），故x=

- 1 4a

，
∴x∈(0，

- 1 4a

)时，f′（x）＞0；x∈(

- 1 4a

，+∞)时，f′（x）＜0．
故x0=

- 1 4a

是f（x）的极大值点；
依题意：1＜

- 1 4a

＜2，
解得：-

1

4

＜a＜-

1

16

，
综上所述，a的取值范围为(-

1

4

，-

1

16

)．

点评：本题考查了导数的几何意义、相互垂直的直线斜率之间的关系、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．