题目内容
若函数f（x）=x3-3x2+2，则方程f（f（x））=0的所有实数根的个数是 ．
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：函数的性质及应用
分析：令f（x）=t，利用导数求得函数f（x）的极大值为f（0）=2，极小值为f（2）=-2，可得函数f（x）的零点有3个，设分别为x1，x2，x3，则由三次函数的图象特征可得，-2＜x1＜0，0＜x2＜2，x3＞2．可得t3-3t2+2=0 有3个实数根，且-2＜t1＜0，0＜t2＜2，t3＞2．求出函数y=f（t）的图象和直线y=t1 的交点个数、函数y=f（t）的图象和直线y=t2 的交点个数，函数y=f（t）的图象和直线y=t3的交点个数，再把这些交点个数相加，即得所求．
解答：
解：令f（x）=t，则方程f（f（x））=0，即 t3-3t2+2=0．
由题意可得方程t=0，即 x3-3x2+2=0．
由于f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），故函数f（x）的极大值为f（0）=2，极小值为f（2）=-2，
故函数f（x）的零点有3个，设分别为x1，x2，x3，则由三次函数的图象特征可得，-2＜x1＜0，0＜x2＜2，x3＞2．
由此可得t3-3t2+2=0 有3个实数根，且-2＜t1＜0，0＜t2＜2，t3＞2．
由于函数y=f（t）的图象和直线y=t1 （最下边的蓝线）的交点有3个，
函数y=f（t）的图象和直线y=t2 （中间的蓝线）的交点有3个，
函数y=f（t）的图象和直线y=t3（最上边的蓝线）的交点个数为1，
故满足 t3-3t2+2=0的x值共有7个，
故答案为：7．
解：令f（x）=t，则方程f（f（x））=0，即 t3-3t2+2=0．由题意可得方程t=0，即 x3-3x2+2=0．
由于f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），故函数f（x）的极大值为f（0）=2，极小值为f（2）=-2，
故函数f（x）的零点有3个，设分别为x1，x2，x3，则由三次函数的图象特征可得，-2＜x1＜0，0＜x2＜2，x3＞2．
由此可得t3-3t2+2=0 有3个实数根，且-2＜t1＜0，0＜t2＜2，t3＞2．
由于函数y=f（t）的图象和直线y=t1 （最下边的蓝线）的交点有3个，
函数y=f（t）的图象和直线y=t2 （中间的蓝线）的交点有3个，
函数y=f（t）的图象和直线y=t3（最上边的蓝线）的交点个数为1，
故满足 t3-3t2+2=0的x值共有7个，
故答案为：7．
点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，三次函数的图象特征，属于中档题．
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